deducción lógica – Rompecabezas de piedras de colores en un tablero de ajedrez

Esto se puede hacer con el principio de inclusión-exclusión, pero se pone un poco feo debido a los casos que se cruzan.

Paso 1: Hay $3^$ formas de poner las monedas juntas.


Paso 2: De eso tenemos que sustraer las formas de poner monedas que tienen al menos una fila o una columna del mismo color: begin 2timesdbinomtimes3^1times(3^) end Hay 16 filas y columnas, que pueden ser de 3 colores cada una, y luego sobra un tablero de $n(n-1)$.


Paso 3: A eso tenemos que agregar todas las formas de depositar monedas que tengan al menos dos filas o columnas del mismo color.

Paso 3.1: Dos filas o dos columnas: begin2timesdbinomtimes3^2times(3^)end

Paso 3.2: Una fila y una columna (tenga en cuenta que deben ser del mismo color): begin8^2times3times(3^)end


Etapa 4: A esto tenemos que sustraer todas las formas de depositar monedas que tengan al menos tres filas o columnas del mismo color.

Paso 4.1: Tres filas o tres columnas: begin2timesdbinomtimes3^3times(3^)end

Paso 4.2: Una fila y dos columnas o viceversa (tenga en cuenta que deben ser del mismo color): begin2timesdbinomtimesdbinomtimes3times( 3^)end


Las cosas continúan así durante bastante tiempo…

Lo complicado es que en los casos en los que hay una mezcla de filas y columnas de un color, inmediatamente sabes que todas las filas y columnas de un solo color son del mismo color. Esto da (gracias a @Mike Earnest por escribir esto):

begin 3^-2sum_^n (-1)^ibinomi3^+sum_^n (-1)^binomibinom3^ end

donde el primer término es del paso 1, el segundo término representa los casos donde hay $i$ filas o $i$ columnas, y el tercer término representa los casos donde hay una mezcla de al menos 1 fila y al menos 1 columna .

Deja un comentario