embalaje – ¿Cuál es la mejor forma de embalar los discos?

Aquí hay algunas estadísticas sobre el diámetro del círculo más pequeño en el que se pueden empaquetar círculos de $n$ diámetro-$1$:

$$begin 2 y 2 \ 3 y 2,1547 \ 12 y 4,0296 \ 13 y 4,2361 \ 31 y 6,2915 \ 32 y 6,4295 \ 50 y 7,9475end$$

El embalaje más conocido de $31$ pone $1$ en el círculo interior de $2,1$, $6$ otros en el círculo de $4,2$ y los otros $31-7=24$ en el círculo de $6,3$. Los otros $50-31=19$ caben en el anillo exterior. Esto da una puntuación de $1cdot30+6cdot20+24cdot14+19cdot5=581$.

Si, alternativamente, empaquetamos tantos como sea posible en el círculo de $ 4.2 $, empaquetaremos $ 12 $ allí. De esos $12, 3$ están lo más cerca posible del centro, pero no encajan en el círculo interior de $2,1$, por lo que cada uno de los $12$ tiene una puntuación de $20$. $16$ más caben en el círculo de $6.3$, aunque $17$ no lo hará, porque hacerlo implica empaquetar sus centros en un círculo de $5,3$ y $5,3piapprox16,65

Las proporciones entre las puntuaciones se eligen cuidadosamente. Si los círculos en el círculo de $ 6.3 $ obtuvieron solo $ 13 $ en lugar de $ 14 $, $ 581 $ y $ 574 $ serían $ 557 $ y $ 558 $, por lo que la peor solución anterior sería mejor.

Los resultados para el círculo más pequeño en el que se pueden empaquetar $n$ círculos unitarios provienen de Graham[1].


Podría haber jurado que todas las dimensiones especificadas eran diámetros.

Paquete de 12 círculos de radio-$1$ en un círculo de radio $4.0296$. Por lo tanto 12 diámetro-$1$ los círculos se empaquetan en un círculo de radio $2.1$. Ahora considere el segundo anillo (de radio $r=4.2$). $2pi (r-frac12)>23$ y $2pi (r-1frac12)>16$, por lo que hay espacio en el segundo anillo para un anillo de $15$ o $16$ y un anillo más alejado $22$ o $23$. La puntuación sería entonces $12cdot30+38cdot20=1120$. Pero aquí no hay sutileza, y los dos más grandes de los cuatro anillos concéntricos no son necesarios. creo que el destinado El problema debe ser como originalmente pensé que era: con círculos de diámetro $1$ en anillos de diámetro $2.1, 4.2, 6.3, 8.4$. O círculos de radio $1$ en anillos de radio $2,1, 4,2, 6,3, 8,4$.


[1] Graham et al., Empaquetamientos densos de círculos congruentes en un círculo. Matemáticas discretas 181 (1998), págs. 139-154.

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