geometría – reflexión de rayos dentro del cubo

Me gustaría empezar con una dimensión menos: en lugar de un cubo miramos un cuadrado y la viga tiene que ir de una esquina a la opuesta. Para encontrar el camino más corto con $N$ reflexiones más fáciles

podemos imaginar lo que ve un observador dentro del cuadrado.

en vez de ver el $N = 4$ caso como este:
(verde = punto de partida, rojo = punto de destino)

imaginamos que los espejos simplemente amplían el espacio. Luego, el cuadrado simple se refleja una y otra vez y forma una cuadrícula:

En esta cuadrícula, el haz puede viajar directamente a uno de los reflejos del punto objetivo, cruzando así las líneas. $4$ veces, lo que corresponde a los 4 reflejos. Cubre una longitud de camino de $sqrt$.

Esto se puede extender fácilmente a caminos más largos.

Aquí, por ejemplo, hay una forma de someterse $28$ reflexiones con una longitud de camino de $sqrt$.

Pero no todos los tipos de caminos son factibles de esta manera.

Una restricción es que no se le permite golpear las esquinas. Así que uno ilegal camino seria:

Para evitar esto, es necesario asegurarse de que las longitudes recorridas en una dimensión sean primos en relación con las longitudes recorridas en la otra dimensión. Por ejemplo, someterse $N = 6$ reflejos que recorre el haz $x$ unidades horizontalmente y $y$ unidades verticalmente, tal que $(x – 1) + (y – 1) = N$ y $x$ y $y$ son primos relativos. esto funciona para $(x = 5, y = 3)$pero no para $(x = 4, y = 4)$ o $(x = 6, y = 2)$.

Otra limitación es que sólo hay soluciones con incluso $N$. Esto se puede ver por el hecho de que todos los reflejos del punto objetivo se encuentran en coordenadas impares. Para alcanzarlos, ambos $x$ y $y$ debe ser impar, de ahí el número de reflejos $(x – 1) + (y – 1)$ debe ser parejo.

Minimizar la longitud de la ruta funciona de la siguiente manera:

El camino general recorrido es $sqrt$. Con $x + y$ ser fijado (a $N + 2$) la longitud es mínima para $x = y$. Desafortunadamente esto nunca es posible. En primer lugar, $x$ y $y$ deben ser números enteros. Y en segundo lugar, no serían primos si fueran iguales. Entonces, la estrategia general es encontrar dos primos relativos para $x$ y $y$ que estén lo más juntas posible.

Cómo extender esto a 3 dimensiones:

En 3 dimensiones no es mucho más complicado. la condición que $N$ tiene que ser incluso permanece, porque las 3 coordenadas $x$, $y$ y $z$ debe ser extraño, por lo tanto $N = (x – 1) + (y – 1) + (z – 1)$ incluso. Para evitar golpear los bordes de la cuadrícula tridimensional $x$, $y$ y $z$ deben ser primos entre sí.

Aquí está la solución para $N = 4$:

La única forma de encontrar 3 coordenadas impares que son relativamente primos y suman $N + 3 = 7$ es $(5, 1, 1)$ (o sus permutaciones). Esto da una longitud de camino de $sqrt = sqrt = 3sqrt$.

Aquí está la solución para $N = 2008$:

Para ver dónde estarán aproximadamente las tres coordenadas, podemos estimar $frac = 670frac$. Cosecha $x = 671$ primero, que tiene los factores primos $11$ y $61$ hojas $1340$ para las otras dos coordenadas. ambos no pueden ser $670$por lo que deben diferir en al menos $2$. Pero entonces uno de ellos sería $671$, que ya está tomado. Tampoco pueden diferir por $4$porque entonces compartirían el factor primo $2$. pero pueden ser $673$ y $667$. $673$ es un número primo y $667 = 23 cdot 29$por lo que no comparte factor con las otras coordenadas.
Entonces la longitud del camino del haz es $sqrt = sqrt aprox. 1161,059$.

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Respuesta al comentario:

Solución para $N = 6$:

Las coordenadas serán $frac = 3$ de media. Para hacerlos primos relativos, podemos elegir $(1, 3, 5)$. Esto es diferente a la respuesta de Brandon_J, cuyo método sugiere $(1, 1, 7)$ para este particular $N$. La longitud de esta respuesta es $sqrt = sqrt aprox. 5,916$ mientras que el enfoque de Brandon_J da $sqrt = sqrt aprox. 7,141$.
En 3 dimensiones, la trayectoria del haz tiene el siguiente aspecto (en el espacio real y extendido, respectivamente):