La lotería Powerball aún no es una apuesta rentable – Game Theory Tuesdays – Mind Your Decisions

Por primera vez, el premio mayor de la lotería estadounidense Powerball supera los mil millones de dólares. Millones de personas comprarán boletos para el sorteo del miércoles a pesar de las probabilidades astronómicamente bajas de ganar.

Empecemos por calcular la probabilidad de ganar. La lotería involucra 5 números seleccionados del 1 al 69 y un sexto número de Powerball seleccionado del 1 al 26. ¿Cuántos ordenes de números son posibles? Hay 69 bolas posibles para el primer número, luego 68 para el segundo, 67 para el tercero, 66 para el cuarto y 65 para el quinto. Estas posibilidades se multiplican juntas y luego se multiplican por las 26 posibilidades del número Powerball. En todos hay:

69 × 68 × 67 × 66 × 65 × 26 = 35.064.160.560 pedidos

La probabilidad de ganar es mejor porque puede acertar los primeros 5 números en cualquier orden. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los cinco números ABCDE? Hay 5 posibilidades para el 1° número, 4 para el 2°, 3 para el 3°, 2 para el 4° y 1 para el 5°. Por lo tanto, debemos dividir por 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 formas posibles para evitar el doble conteo de ordenaciones equivalentes de los primeros 5 números.

35.064.160.560/120 = 292.201.338 posibles billetes ganadores

Por lo tanto, la probabilidad de que gane un solo boleto es de aproximadamente 1 en 292 millones.

¿Jugar a la lotería es una buena idea? Investiguemos por qué todavía no es una apuesta rentable.
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Valor esperado estimado

Un cálculo del reverso del sobre sugiere que la lotería es rentable. Tiene una probabilidad de 1/292 millones de ganar un premio de mil millones de dólares, por lo que espera ganar unos 3,42 dólares por boleto. Dado que un boleto cuesta solo $ 2, ¡parece una apuesta inteligente!

Pero no tan rápido. Hay detalles prácticos que afectan significativamente el cálculo. Primero, debido a que muchas personas están comprando boletos, existe un 75 por ciento de posibilidades de que alguien más también tenga un boleto ganador, lo que significa que el premio se divide en partes iguales para cada ganador. En segundo lugar, el monto del premio mayor se paga anualmente durante 30 años; el valor en efectivo hoy es el premio de suma global más pequeño que es menos de $ 1 mil millones, alrededor de $ 870 millones. En tercer lugar, el premio está sujeto a impuestos federales y estatales, lo que reduce aproximadamente a la mitad el monto recibido.

Cálculo de GameTheory 101

La mejor publicación que he leído proviene de William Spaniel, quien considera si la lotería Powerball es rentable.

Él prueba la idea en el siguiente experimento mental. Tenga en cuenta que si el Powerball fuera rentable, cada número de boleto distinto ofrecería un rendimiento positivo. Por lo tanto, si compraste todos los boletos posibles, garantizarías ganar dinero.

Entonces, la publicación considera el experimento mental: si comprara los 292 millones de boletos de lotería Powerball posibles ganadores, ¿cuál sería su retorno esperado?

La publicación es excelente porque tiene en cuenta las probabilidades de tener que compartir un premio, el efecto de ganar premios más pequeños que no sean premios mayores y el efecto de los impuestos.

Hay algunas consecuencias divertidas si compras millones de boletos de Powerball. Dado que cada boleto aporta dinero al premio mayor, sus millones de boletos aumentarán por sí solos el tamaño del premio mayor en millones de dólares. Además, dado que puede deducir las pérdidas de la lotería, podría deducir millones de dólares en su declaración de impuestos por todos los millones de boletos perdidos.

Al final, aún perdería $ 13 millones si intentara esto, y sería prácticamente imposible comprar tantos millones de boletos.

¿Qué tan grande tiene que ser el premio para alcanzar el punto de equilibrio? Si la cantidad de boletos que compraron todos los demás se mantiene constante, William Spaniel estima que el premio global tendría que ser de alrededor de $ 1.5 mil millones solo para alcanzar el punto de equilibrio; esto es aproximadamente el doble de la suma global actual de $ 870 millones. Es poco probable que el premio mayor llegue a este nivel. Además, si el premio mayor lo hiciera, entonces otras personas comprarían más boletos para perseguir el premio. En el futuro, el Powerball también podría cambiar sus reglas aumentando el número de bolas. Esto significa que es poco probable que el premio mayor, la venta de boletos y la probabilidad de ganar lleguen a un punto en el que el Powerball tenga un valor esperado positivo.

Algunos consejos para ganar loterías

Si decide comprar un boleto de Powerball, entonces hay un aspecto de la teoría del juego que es útil. La estrategia principal es que debe elegir números que tengan menos probabilidades de ser elegidos para evitar tener que compartir un premio si gana. Tal vez evite los números que podrían ser cumpleaños u otros números de la suerte, y tal vez opte por un conjunto aleatorio de números.

Ocasionalmente, algunas loterías tienen un valor esperado positivo. Esto se debe a reglas extravagantes como tener premios acumulados, ventas bajas de boletos y una regla que obliga a pagar un premio por encima de cierta cantidad. Pero estas loterías no siguen siendo rentables por mucho tiempo: las reglas a menudo cambian, ya que el objetivo de una lotería es recaudar dinero, no que un estado pague premios en exceso.

Para los detalles matemáticos sobre eso, lea este estudio: Abrams, Aaron y Garibaldi, Skip. «Encontrar buenas apuestas en la lotería y por qué no debería tomarlas». El mensual matemático estadounidense, vol. 117, núm. 1, enero de 2010, págs. 3-26. Disponible en linea.

¿Por qué el sitio de Powerball es tan peculiar?

Tenía curiosidad por leer las reglas oficiales. me sorprendio la sitio oficial de Powerball tiene varios anuncios, un cuadro de texto que se desplaza y un diseño típico de los sitios web de hace 10 años.

Hay una sección de «letras reales» que incluye cartas supuestamente reales con respuestas humorísticas.

Aquí hay una carta que encontré interesante.

DE Ron: No veo ninguna garantía de un juego honesto en su sitio web. ¿Powerball garantiza a los jugadores un juego honesto?

Cada vez que vea que alguien ofrece una garantía de honestidad, corra.

Lee la publicación, mira el video

Para los detalles matemáticos en el cálculo de Powerball, recomiendo la publicación en GameTheory101:

¿Es rentable la lotería Powerball?

También ha colgado un vídeo que explica los principales resultados del cálculo.

Teoría de juegos y estrategia de Powerball

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