matemáticas – 2019 monedas de oro para compartir

Una nota: @Reinierademás de tener un nombre de usuario palindrómico impresionante, también resolvió este rompecabezas primero (mi solución aún era independiente). Me gusta más mi explicación (pero, por supuesto, soy parcial), pero si vota mi respuesta, no olvide votar también la de Reinier.


Entonces, es algo evidente que necesitamos encontrar

la estrategia óptima (para nosotros) en el peor de los casos (nuestro amigo intenta conseguir tantas monedas como pueda).

Esta es mi estrategia básica:

El número máximo de bolsas que se pueden llenar es 25. Esto se debe a que el juego termina cuando una persona gana 13 bolsas. En consecuencia, si repartimos todas las monedas por igual entre las bolsas, lo peor que podemos sacar es 12/25 del botín. Por supuesto, no podemos bastante dividirlos en partes iguales, por lo que llenaremos 6 de ellos con 80 monedas y 19 de ellos con 81 monedas.

Cuando le presentamos cada bolsa a nuestro amigo,

El mejor escenario para él/ella es reunir 13 de las 19 bolsas de 81 monedas. Esto nos deja con $81 * 6 + 80 *6 = 966$ monedas a su $31 * 81 = 1,053$.

Esencialmente, la estrategia del amigo es

guarde cualquier bolsa con más de 80 monedas y dénos cualquier bolsa con 80 monedas o menos.

Hay, por supuesto, una pequeña solución que puede darnos una pequeño un poco más.

Si presentamos un flujo continuo de

Bolsas de 80 monedas, entonces la mejor apuesta del amigo es darnos las primeras 12 bolsas, pero luego darse el resto de las bolsas. Esto mejora un poco las cosas: nuestro amigo solo obtiene $1,040$ monedas, y obtenemos $979$.

¿Qué pasa si presentamos un flujo continuo de

¿Bolsas de 79 monedas? Lo mejor que nuestro amigo puede conseguir es $1,027$y obtenemos $998$ ¡Eso es aún mejor!

¿Qué pasa si presentamos un flujo continuo de

¿Bolsas de 78 monedas? Lo mejor que nuestro amigo puede conseguir es $1,014$y obtenemos $1,005$ ¡Eso es aún mejor!

¿Qué pasa si presentamos un flujo continuo de

bolsas de 77 monedas? Lo mejor que nuestro amigo puede conseguir es $1,024$, y esto es si nos da las 13 bolsas de 77 monedas. Anteriormente, terminó dándose todas las bolsas, por lo que parece que el punto más alto al que podemos llegar es con bolsas de 78 monedas.

Entonces, la estrategia alterada de nuestro amigo es

mantener cualquier bolsa con más de 77 monedas $13*78$ monedas le da la mayoría de las monedas, mientras que $13*77$ monedas le da una minoría de las monedas.

Podemos inferir que no podemos hacer nada mejor que

bolsas de 78 monedas

porque

Cada bolsa debe estar por encima, por debajo o en 78 monedas. Si le presentamos a nuestro amigo bolsas con menos de 78 monedas, nos las da y estamos jugando una estrategia no óptima. Si le presentamos más, él sigue adelante y lo toma, aumentando sus ganancias potenciales.

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