Pregunta de la entrevista de Oxford’s Coin Tossing: tenga en cuenta sus decisiones

“Todo lo que existe en el universo es fruto de la casualidad.” Demócrito

Esto es una adaptación de una pregunta de la entrevista de Oxford, que se presentó en el canal de YouTube. Gurú yo. (Mira ese video para aprender otra forma de resolver el problema)

Te dan una moneda, no necesariamente justa, que a veces muestra cara y otras veces cruz.

Si lanza cruz, obtiene 1 libra y el juego continúa, por lo que puede lanzar nuevamente.

Sin embargo, si saca cara, no obtiene nada y el juego termina.

¿Cuál es la cantidad promedio que ganarás en este juego? En otras palabras, ¿cuál es el valor esperado del juego?

Mira el video para aprender a resolverlo.

Cómo resolver la pregunta de la entrevista de la moneda de Oxford

O sigue leyendo.
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«Todo estará bien si usas tu mente para tus decisiones y te preocupas solo de tus decisiones». Desde 2007, he dedicado mi vida a compartir la alegría de la teoría de juegos y las matemáticas. ¡MindYourDecisions ahora tiene más de 1,000 artículos gratuitos sin anuncios gracias al apoyo de la comunidad! Ayude y obtenga acceso anticipado a las publicaciones con una promesa de Patreón.

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Respuesta a la pregunta de la entrevista de Oxford Coin

(Casi todas las publicaciones se transcriben rápidamente después de que hago los videos para ellas; avíseme si hay errores tipográficos / errores y los corregiré, gracias).

*Las siguientes personas me enviaron correos electrónicos sobre errores/errores tipográficos. ¡¡Gracias!!
Chris de Cambridge Reino Unido
Lucas

Vamos a escribir t = probabilidad de cruz Tpor lo que entonces h = 1 – t es la probabilidad de que salga cara H. Sea la variable aleatoria w indican las ganancias del juego.

Voy a presentar dos métodos usando series infinitas. Y luego voy a mostrar un pequeño truco ingenioso que resuelve el problema en poco tiempo. Pero primero, demostremos que la serie es absolutamente convergente para que podamos manipular la serie infinita sin problemas.

La serie infinita es absolutamente convergente.

El valor esperado del juego es la probabilidad de sacar las primeras caras en el kel dibujar multiplicado por el valor de dicho evento. Esta es la suma infinita:

pr(H)(0) + Pr(JU)(1) + Pr(TTH)(2) + Pr(TTTH)(3) + …
h(0) + ht(1) + ht2(2) + ht3(3) + …
hora(1 + 2t + 3t2 +…)
(1 – t)t(1 + 2t + 3t2 +…)

¿Esta serie converge? Podemos comprobarlo mediante la prueba de la razón de D’Alembert. Para k = 0, 1, 2,…, el término k tiene la forma (1 – t)(ktk). El valor absoluto de la razón de términos consecutivos k + 1 a k es entonces:

|(1 – t)(k + 1)tk+1)/((1 – t)ktk-1)|
= (k + 1)tk+1/(ktk-1)
= t(k + 1)/k

Como k tiende a infinito, el límite anterior va a t, que está entre 0 y 1 para una moneda que muestra cara y cruz. Por tanto, la serie es absolutamente convergente por el criterio de la razón.

(Puede preguntarse por qué hicimos todo este trabajo para verificar la convergencia. La razón es que los métodos de solución 1 y 3 estarían incompletos para una expectativa infinita y podrían conducir a resultados extraños como 1 + 2 + 3 + … = -1/12 En muchos problemas del pasado no hablé del tema de la convergencia, pero ahora tenemos una audiencia mucho más grande viendo los videos, y una gran audiencia conlleva una gran responsabilidad).

Método 1: series infinitas

Calculemos el valor de E(w) de la serie ya derivada:

MI(w) = (1 – t)t(1 + 2t + 3t2 +…)

Distribuya el (1 – t) a la serie, dando:

MI(w) = t(1(1 – t) + 2t(1 – t) + 3t2(1 – t) + …
MI(w) = t((1 – t) + (2t – 2t2) + (3t2 – 3t3) +…

Como demostramos que la serie es absolutamente convergente, podemos reagrupar la suma de la siguiente manera:

MI(w) = t(1 + (-t + 2t) + (-2t2 + 3t2) + (-3t3 + 4t3) + …)
MI(w) = t(1 + t + t2 + t3 +…)

Ahora tenemos una serie geométrica estándar cuya suma se calcula fácilmente:

MI(w) = t(1/(1 – t))
MI(w) = t/(1 – t)

Esta es la forma sencilla de resolver el problema. Pero para impresionar al entrevistador, ¡quizás quieras ser aventurero!

Método 2: usando derivados

Esto se presenta en el Video de Gurú Me.

Comience igual que el último método:

MI(w) = (1 – t)t(1 + 2t + 3t2 +…)

Ahora puede notar que la serie entre paréntesis es la derivada de una serie geométrica estándar:

(d/dt)(t + t2 + t3 + …) = 1 + 2t + 3t2 +…

Sabemos que la suma de la serie geométrica es 1/(1 – t), por lo que podemos sustituir y tomar la derivada:

(d/dt)(1/(1 – t)) = (1 + 2t + 3t2 +…)
1/(1 – t)2 = 1 + 2t + 3t2 +…

Entonces podemos sustituir de nuevo en la expectativa para obtener:

MI(w) = (1 – t)t/(1 – t)2
MI(w) = t/(1 – t)

No es necesario usar cálculo, ¡pero es un pequeño truco genial! Pero todavía hay otra forma de resolver el problema, que personalmente disfruto más.

Método 3: ley de expectativa total

¿Qué pasa después de tu primer lanzamiento? Si lanza cara al el juego termina y no obtienes nada. Pero, ¿y si tiras cruz? Ganas 1 libra. En ese momento, puedes lanzar de nuevo. Es exactamente el mismo juego, con la misma expectativa hacia adelante E(w), excepto que ya tiene 1 libra en su bolsillo, por lo que ahora puede esperar ganar E(w) + 1. Entonces podemos escribir las ganancias esperadas en términos de la ley de expectativa total:

MI(w) = mi(w|tirar caras)Pr(tirar caras) + E(w|tirar colas)Pr(tirar colas)
MI(w) = h(0) + t(1 + E(w))
MI(w) = t(1 + E(w))

Podemos resolver la ecuación anterior para E(w) y obtenemos:

MI(w)(1 – t) = t
MI(w) = t/(1 – t)

¡Y como magia hemos resuelto el problema usando una ecuación lineal simple!

Fuente

Entrevista de Oxbridge Matemáticas, Guru Me
https://www.youtube.com/watch?v=O28NPwyDlm8

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