¿Qué bote de lotería da el mayor valor esperado? Por qué los botes más grandes no son los mejores. Martes de teoría de juegos: cuida tus decisiones

Dado que comprar un boleto de lotería siempre cuesta $2, independientemente del tamaño del premio mayor, y tiene aproximadamente 1 en 292 millones de posibilidades de ganar el premio mayor, podría pensar que comprar un boleto para pagos más grandes es más inteligente. ¿No es mejor pagar $2 por la oportunidad de ganar $1 billón en lugar de la oportunidad de ganar $100 millones? ¿Y las loterías con premios mayores de $584 millones no ofrecerían realmente un pago esperado positivo, lo que las convertiría en una buena apuesta?

Por desgracia, hay varias consideraciones prácticas que hacen que los boletos de lotería sean una mala apuesta. Desde una perspectiva contable, las ganancias del premio están sujetas a impuestos, y el valor del premio mayor se paga como una anualidad durante 30 años, o se paga como una suma global con un valor presente mucho más bajo.

Además, también hay que tener en cuenta un aspecto de la teoría del juego: a medida que aumenta el premio mayor, más personas compran boletos, lo que aumenta la posibilidad de que otra persona compre los mismos números que usted. Si gana el premio, tendrá que dividirlo con cualquier otra persona que tenga los mismos números.

Quiero explicar algunos de los detalles matemáticos del cálculo y luego repasar qué tamaño del premio mayor es probablemente el mejor valor esperado.
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La probabilidad de un ganador múltiple

La probabilidad de acertar todos los números de la lotería es de aproximadamente pag = 1/292.000.000.

Supongamos que hay norte billetes de lotería vendidos. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ganadores, que haya exactamente 1 ganador o que haya exactamente k ganadores?

El problema es un caso de libro de texto de una distribución de probabilidad binomial. Para cada boleto, hay una probabilidad pag de ganar y una probabilidad 1 – pag de perder, que se puede escribir como un binomio:

(pagGANAR + (1 – pag)PERDER)

Las posibilidades de ganar o perder de cada boleto son independientes de las de otros boletos. Así que cuando norte se venden las entradas, las probabilidades se multiplican entre sí:

(pagGANAR + (1 – pag)PERDER)(pagGANAR + (1 – pag)PERDER)…(pagGANAR + (1 – pag)PERDER)

= (pagGANAR + (1 – pag)PERDER)norte

Ahora viene la parte ordenada. ¿Cuál es la probabilidad de exactamente k entradas ganadoras? eso pasa cuando k boletos ganan y nortek los boletos se pierden. Podemos resolver ese coeficiente usando el teorema del binomio:

C(norte, k) pagk(1 – pag)norte-k

(Donde C(norte, k) es el coeficiente binomial “norte escoger k” y es igual a norte!/[k!(Nk!)])

Por ejemplo, suponga que hay 400.000 entradas vendidas. Entonces podemos calcular las probabilidades de exactamente k boletos ganadores para obtener:

Número de ganadores Probabilidad
0 0.2541417681
1 0.3481394096
2 0.2384516506
3 0.1088820321
4 0.037288367
5 0.0102159909
6 0.002332418
7 0.0004564419
8 0.0000781578

Como puede ver, la probabilidad de que no haya ganadores es de alrededor del 25 por ciento, y tener exactamente 1 ganador es de alrededor del 35 por ciento. Esto significa que hay alrededor de un 40 por ciento de posibilidades de múltiples ganadores; es bastante probable que se comparta un premio mayor.

El número de boletos por premio mayor

El análisis anterior asumió una cantidad fija de venta de boletos. En realidad, las ventas de boletos fluctúan con el tamaño del premio mayor, y los premios mayores tienden a tener ventas de boletos más grandes.

Cuánto afecta el tamaño del premio mayor a la venta de boletos es cuestión de adivinar. 538 datos extrapolados para estimar la venta de 1.000 millones de boletos para el premio mayor más grande de $1.500 millones el año pasado. Científico de la computación jeremy elson también usó datos para estimar 380 millones de ventas de boletos. Ambos artículos señalaron que es realmente difícil estimar los mega premios mayores porque hay muy pocos puntos de datos.

Datos de Informe de lotería tiene la cifra real en alrededor de 635 millones de entradas vendidas.

El comprador estratégico

Cualitativamente, en jackpots más bajos, el premio es más pequeño, pero también hay menos ventas de boletos y, por lo tanto, hay menos posibilidades de dividir el premio. En los botes más grandes, las ventas de boletos se disparan, lo que aumenta la posibilidad de un empate.

El punto óptimo estratégico está en algún punto intermedio. jeremy elson calculado para la lotería Mega Millions, el mejor valor esperado es un premio mayor anunciado de alrededor de $385 millones, lo que da un retorno de alrededor de $0.57 por boleto de $1. Para Powerball, eso es alrededor de $ 890 millones, lo que da un retorno de aproximadamente $ 0.80 por boleto de $ 2. El valor esperado de estos premios mayores sigue siendo negativo, pero es menos negativo que otros premios mayores anunciados.

Si bien comprar un boleto de lotería no es una apuesta rentable en promedio, puede usar un poco de pensamiento estratégico para comprar en el peor momento para aumentar sus posibilidades. Compre cuando el premio mayor comience a crecer, pero antes de que sea tan grande que haya un frenesí por comprar boletos.

Fuentes y lecturas adicionales

jeremy elson
http://www.circlemud.org/jelson/megamillions/

Yahoo Finanzas
http://finance.yahoo.com/news/math-best-time-play-mega-214800829.html

538
http://fivethirtyeight.com/features/billion-dollar-powerball-lottery/

Business Insider
http://www.businessinsider.com/heres-when-math-says-you-should-start-to-care-about-powerball-2013-9

LottoReport PowerBall ventas 2016
http://www.lottoreport.com/ticketcomparison16.htm

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Publicado por

PRESH TALWALKAR

Dirijo el canal MindYourDecisions en Youtube, que tiene más de 1 millón de suscriptores y 200 millones de visitas. yo también soy el autor de La alegría de la teoría de juegos: una introducción al pensamiento estratégicoy varios otros libros que están disponibles en Amazonas.

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A modo de historia, inicié el blog Mind Your Decisions en 2007 para compartir un poco de matemáticas, finanzas personales, pensamientos personales y teoría de juegos. ¡Ha sido todo un viaje! Agradezco a todos los que han compartido mi trabajo y estoy muy agradecido por la cobertura en la prensa, incluidos los Premios Shorty, The Telegraph, Freakonomics y muchos otros medios populares.

Estudié Economía y Matemáticas en la Universidad de Stanford.

La gente a menudo pregunta cómo hago los videos. Como muchos YouTubers, uso un software popular para preparar mis videos. Puede buscar tutoriales de software de animación en YouTube para aprender a hacer videos. Esté preparado: ¡la animación requiere mucho tiempo y el software puede ser costoso!

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Las calificaciones de los libros son de enero de 2023.

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Cuide sus decisiones es una recopilación de 5 libros:

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(2) 40 paradojas en lógica, probabilidad y teoría de juegos
(3) La ilusión de la irracionalidad: cómo tomar decisiones inteligentes y Superar el sesgo
(4) Los mejores trucos de matemáticas mentales
(5) Multiplica números dibujando líneas

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La alegría de la teoría de juegos muestra cómo puede usar las matemáticas para pensar mejor que su competencia. (puntuado con 4,3/5 estrellas en 290 reseñas)

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40 paradojas en lógica, probabilidad y teoría de juegos contiene resultados estimulantes y contrarios a la intuición. (puntuado con 4,2/5 estrellas en 54 reseñas)

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La ilusión de la irracionalidad: cómo tomar decisiones inteligentes y superar los sesgos es un manual que explica las muchas formas en que estamos sesgados en la toma de decisiones y ofrece técnicas para tomar decisiones inteligentes. (puntuado con 4,1/5 estrellas en 33 reseñas)

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Los mejores trucos de matemáticas mentales enseña cómo puede parecer un genio de las matemáticas resolviendo problemas en su cabeza (puntuado con 4,3/5 estrellas en 116 reseñas)

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Multiplica números dibujando líneas Este libro es una guía de referencia para mi video que tiene más de 1 millón de visitas sobre un método geométrico para multiplicar números. (puntuado con 4,4/5 estrellas en 37 reseñas)

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